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Posts Tagged ‘sucessão de Fibonacci’

De qual destes retângulos gostamos mais?

Fig.1

fig.1

Uma questão semelhante foi formulada por Gustav Fechner, criador da psicofísica, num estudo sobre estatística, a pessoas sem experiência artística. No desenvolvimento do estudo foram mostrados mais retângulos e também o quadrado.

As respostas não divergiram muito, tendo a maioria indicado o quarto retângulo como o seu preferido. Outros retângulos com medidas muito aproximadas deste foram, também, eleitos por uma parte considerável.

A razão dessa preferência justifica-se com a correta proporção das partes que Fechner considera, que para serem belas, do ponto de vista da forma, deve haver entre a parte maior e a menor a mesma relação que entre a maior e o todo. Neste retângulo, escolhido pela maioria, se dividirmos o lado maior pelo menor, obtemos um número, um número aparentemente singelo, bem conhecido do mundo da matemática: 1,618.

Surge com quatro algarismos mas, na realidade, estende-se por muitos mais conforme a notação aritmética :

fórmula

Conhecido, há muito, como número de ouro ou divina proporção ou, ainda, proporção áurea, tem como designação moderna, a letra grega fi (Φ) correspondente à inicial do lendário escultor e arquiteto Fídias, encarregado da construção do templo grego Parténon.

Fig.2

fig.2

O fascínio deste número deve-se à sua presença discreta em muito do que nos rodeia: da arte à natureza, passando pela forma de objetos do dia a dia até à forma de galáxias, a sua presença é a responsável pela beleza que lhes confere.

Artistas de todos os tempos, como Leonardo da Vinci, Georges Seurat, Salvador Dali, Corbusier,  entre outros, aproximaram as suas obras da perfeição ao incluírem esta proporção áurea.

Na natureza e no caso das flores e do mundo vegetal importa introduzir um conceito matemático: a sucessão de Fibonacci. Esta série matemática inicia-se com os valores 1 e 1, a partir dos quais cada novo termo é gerado pela soma dos dois anteriores. O quociente entre qualquer termo da sucessão e o precedente aproxima-se de Φ à medida que avançamos ao longo da série:

1/1= 1

2/1= 2

3/2= 1,5

5/3= 1,666…

8/5= 1,6

13/8= 1,625

21/13= 1,615384

 Φ = 1,6180339887…

Quando se chega ao quadragésimo termo da sucessão, o quociente aproxima-se do número de ouro com uma precisão de 14 casas decimais.

Ao observarmos a flor de girassol percebemos que as sementes descrevem espirais concêntricas nos sentidos horário e anti-horário. Se as contarmos, chegamos a dois números aparentemente inocentes: 21 e 34, que são dois termos sucessivos da série de Fibonacci, no caso da pinha também encontramos dois conjuntos, em cada um dos dois sentidos de rotação, com oito e treze espirais.

Outro exemplo do padrão de sucessão de Fibonacci acontece nos ramos e folhas da planta botão de prata (Achillea ptarmica) que mantém ao longo do seu crescimento esta sequência (fig.7).

fig.7

fig.7

São várias as flores com números de pétalas pertencentes à serie de Fibonacci como por exemplo as margaridas que têm 55 ou 89 pétalas, as dálias têm 43, as chicórias têm 21, a maioria dos malmequeres tem 13 (diz-se que é para bem querer, no jogo “malmequer bem me quer..”, quando se inicia por bem me quer).

Outro aspeto facilmente observável é que as folhas nunca crescem umas por cima das outras, pois se assim fosse, ficariam privadas do sol e da chuva, crescem sim, segundo um padrão que Leonardo da Vinci teve o privilégio de ser o primeiro a dar a conhecer e que consiste na organização das folhas, em grupos de cinco, ao longo do caule, segundo uma espiral.

Voltando ao retângulo de ouro e à relação com a natureza, podemos estabelecer mais relações se tivermos em conta outras construções como a espiral dourada que observamos no molusco marinho – nautilus. Este tipo de espiral é obtido numa sucessão de retângulos de ouro se traçarmos arcos de circunferência de raio igual ao lado de cada um dos quadrados que vamos retirando e com centro no vértice de cada um deles.

       

Esta forma foi desenhada pelo arquiteto Frank Lloyd Wright para a grande rampa do museu Guggenheim, de Nova Iorque.

Encontramos esta espiral tanto na  estrutura de certas formas animais como no movimento dos insetos quando se aproximam de pontos de luz, mas também na forma dos braços das galáxias ou nas pétalas de uma rosa.

Fig.10

fig.10

No dia a dia, o desejo de beleza e de satisfação faz com que certos objetos sejam concebidos almejando esta centelha divina.

Assim, simples cartões como o do cidadão ou do multibanco, alguns livros, (a proporção que se considera mais harmoniosa é 5:8 mas por desperdiçar mais papel é reservada para edições de luxo, sendo o formato 5:7 o mais habitual), vestuário, nomeadamente nas proporções entre a peça superior e a inferior, em alguns jeans, com Φ a surgir na curva do bolso da frente, nas proporções do bolso de trás e na relação entre o pesponto da anca e a costura interior das calças até à área da música em que são conhecidos os instrumentos de Antonio Stradivarius, desenhados com grande cuidado para que os furos dos violinos se situem na proporção áurea, perseguem este ideal divino.

Fig.1

fig.11

Mas existem outros retângulos que, não sendo de ouro, fazem parte do nosso quotidiano como os do exemplo da figura 11, em que o primeiro retângulo, de 16/9, corresponde ao formato dos novos televisores; o segundo, de 36/24, ao das fotografias e, o terceiro, √2, ao formato das folhas de papel, conhecido por formato DIN, de onde resulta a designação de A0, A1, A2, A3, A4… Este terceiro retângulo é também utilizado na planta de edifícios.

Outro exemplo de retângulo menos conhecido é o retângulo de prata que apresenta um formato mais alongado. Podemos observá-lo em portais de templos e em plantas de edifícios.

Fig.12

fig.12

A relação entre as formas e o pensamento numérico é de tal maneira intrínseca que se imaginarmos um mundo sem números seria como imaginar um mundo sem computadores, sem telemóveis, basicamente sem as quatro atividades fundamentais que regem uma parte da vida do ser humano: contar, ordenar, medir e codificar. E se, para contar, foi necessário atribuir números, e numa fase anterior, substituir um objeto por um grafismo, o que deu origem a uma das grandes revoluções da humanidade, a primeira linguagem simbólica, contar, iria, muito mais tarde, gerar a matemática, da mesma maneira que desenhar daria origem a outra linguagem: a da arte e a da escrita.

E se contar  ou contabilizar foi  a primeira função, ordenar implicava por em ordem, só muito depois, surgiriam as outras, mais complexas, primeiro a medição, que requer a existência de unidades padrão para cada uma das grandezas e comparação dos resultados para efetuar operações e, por fim, a codificação, que é a modificação de um sinal de modo a torná-lo mais apropriado para uma aplicação específica, o que, na sociedade atual, tem uma grande importância.

Ana Guerreiro

Bibliografia

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