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Como um ilusionista numa ação performativa sugere que algo de sobrenatural acontece, o artista holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972), desafiando a razão, vai suscitar o mesmo espanto e deslumbramento ao criar figuras que se transformam, que desaparecem, escadas que o observador sobe e, incompreensivelmente, começa a descer, uma confusão dos sentidos, uma distorção da perceção como até aí ninguém tinha feito.

Para entender a génese do seu trabalho, há que recuar a diversos momentos que impressionaram o artista, sendo um deles uma casa do séc XVII que habitou quando era jovem, em Amesterdão, onde havia pinturas nas portas, com a técnica de “trompe l’oeil” que o surpreendiam por parecerem baixos-relevos.

Fig. 3jpg

Fig.3 Pintura de uma casa em Amesterdão, Pieter de Wit

A técnica artística de “trompe l’oeil”  proporciona o aumento visual do espaço conseguido por um efeito de ilusão de ótica onde as formas de duas dimensões aparentam ter três. Foi uma técnica utilizada na Antiguidade, em murais de Pompeia, onde eram pintadas portas, janelas ou corredores, precisamente  para causar esse alargamento visual do espaço. Foi usada no período do Renascimento, do Barroco e atualmente, em paredes cegas de edifícios urbanos.

Os frescos nos tetos de igrejas barrocas combinando a pintura com a escultura e a arquitetura, ligadas entre si, produziam um tipo de representação que impressionou Escher pela situação de conflito entre as formas tridimensionais e o plano bidimensional, a ideia de que o mundo tridimensional podia ser representado numa superfície plana e que tudo isso era uma ilusão pareceu diverti-lo.

Aprendeu técnicas de gravura artística com um professor de origem portuguesa, Samuel Jesserun de Mesquita, a quem muito se afeiçoou e cuja fotografia manteve sempre afixada no seu estúdio.

Das técnicas de gravura que aprendeu, a xilogravura, ou gravura em madeira, foi aquela em que mais se destacou.

Fig. 4

Fig. 4 Esboço feito em Alhambra, 1936

Diversificada mas com grande unidade, a sua obra é o resultado de muitas experiências e muitas pesquisas, uma delas é a divisão regular da superfície que parece ter despontado com uma visita a Alhambra onde o artista ficou impressionado com os ornamentos mouriscos e com a quantidade de possibilidades que a divisão rítmica de uma superfície permite.

Obstinado com a ideia de dividir regularmente a superfície do desenho e tendo que respeitar duas condições: a não sobreposição de desenhos e não deixar espaços por desenhar, obtém um primeiro resultado que considera insatisfatório.

fig.

Fig. 5

Volta uma segunda vez a Alhambra, em 1936, e copia os ornamentos mouriscos, investiga-os, lê livros sobre ornamentação e ensaios matemáticos, pois a dificuldade em revestir uma superfície plana sem espaços livres e sem sobreposições foi um problema matemático que Escher levou tempo a resolver.

No dia a dia, quando observamos uma superfície preenchida com mosaicos, com uma forma poligonal regular, como por exemplo revestimentos de paredes ou de chão, podemos pensar que a repetição desse mosaico pela área a revestir servirá para preencher a superfície, mas nem sempre é assim.

A combinação dos vários mosaicos com formas poligonais, cujas arestas têm de coincidir e produzir composições geométricas é simples somente para os matemáticos que têm esse problema resolvido. Por exemplo, se tivermos um mosaico com a forma de um pentágono regular e quisermos preencher toda a área com módulos iguais, é uma tarefa impossível, pois ao unir três pentágonos regulares, a soma dos seus ângulos internos perfaz 324º, ora para fechar o espaço teria de perfazer 360º.

Fig. 5

Fig. 6

Assim sendo, o ângulo interno do polígono regular tem de ser divisor de 360º, ou seja, 120º, 90º, 60º, que é o caso do hexágono regular, do quadrado e do triângulo equilátero.

Os hexágonos regulares podem ser divididos em triângulos equiláteros, pelo que as redes que compõem a base da composição geométrica só podem ser triangulares ou quadrangulares e são essas que existem à nossa volta.

Ainda assim, há composições com pentágonos que não são regulares como os que são formados por um quadrado e um triângulo, mas são pouco usados devido à sua componente estética pouco interessante.

Em Alhambra, onde Escher terá ficado impressionado com as estruturas das superfícies e a possibilidade de módulos daí resultantes, apresentam-se alguns tipos:

Fig. 6

Fig. 7 “Osso” ou “Osso Nasrid”

Tendo por base um quadrado, são traçadas as linhas diagonais e dividida a base em quatro partes iguais a partir das quais se traçam linhas verticais nos pontos de corte dos segmentos.

Separam-se os paralelogramos que resultaram do cruzamento das linhas e colocam-se no motivo conforme a figura oito ilustra. O padrão obtido é conseguido por um efeito de repetição e translação do motivo.

Fig. 7jpg

Fig.8 “Passarinho”

A figura 9 resulta de uma rede triangular em que a partir de um triângulo equilátero se traçam curvas com centro nos vértices até ao meio de cada lado, retirando-se depois as restantes superfícies.

cravo

Fig. 9 “Cravo”

O terceiro exemplo parte de um quadrado onde se desenharam dois triângulos retângulos com a hipotenusa coincidente com o lado do quadrado. Depois deslocaram-se os triângulos para fora.

Fig. 9

Fig. 10 “Criação de uma metamorfose”

Foi com muito trabalho que Escher elaborou um sistema que lhe permitiu dividir uma superfície plana para desenvolver as suas composições, o qual veio suscitar a admiração de matemáticos e cristalógrafos.

No exemplo dado tomamos conhecimento de um processo de divisão da superfície e da transformação da forma.

Nestas divisões, a metamorfose e os ciclos foram os temas dominantes.

Recorrendo a movimentos de rotação, translação e reflexão desenvolve algumas composições como a “Dia e Noite” que apresenta uma das mais simples possibilidades de preenchimento regular da superfície, destacando-se o movimento de translação do padrão das aves.

Fig. 10

Fig. 11 “Dia e noite”

Em outras composições, como a “Circulação”, surge uma figura humana, no alto, muito animada, descendo umas escadas, sem saber que aos poucos se vai transformar, perder tridimensionalidade, diluir-se com outras figuras semelhantes e, no final, cingir-se à condição de figura geométrica.

Fig 11

Fig. 12 “Circulação”

Mas a obra de Escher não se ficou só pelo preenchimento regular de superfícies, o artista empreendeu estudos no âmbito da perspetiva clássica de onde resultaram trabalhos como “Um outro mundo II” onde se pode confundir o em cima com o em baixo, a direita com a esquerda, a frente com a parte de trás, partindo de um único ponto de fuga.

Fig 12

Fig. 13 “Um outro mundo”, 1947

Na litografia “Relatividade” existem três pontos de fuga que ficam para além da imagem e que formam um triângulo equilátero com lados de dois metros de comprimento.

Nesta litografia estão representados três mundos diferentes, as figuras que os habitam têm uma noção das coisas de um modo diferente dos demais, assim o que para uns é o teto para outros é uma parede ou o que é uma porta para uns é uma abertura no chão para outros.

Fig 13

Fig. 14 “Relatividade”

Esta abordagem à obra do artista está longe de ilustrar todo o seu trabalho, não são mencionados os estudos dos sólidos geométricos, os laços de Moebius, a construção de ligações impossíveis, de mundos impossíveis, entre outros. Com uma obra tão vasta e complexa, o resultado foi a incessante procura da compreensão da realidade, das formas, dos padrões, dos ritmos, e essa compreensão só a matemática a revelou.

Presente em Lisboa, o Museu de Arte Popular apresenta uma exposição que ilustra o universo deste notável artista.

Ana Guerreiro

Bibliografia:

  • Bruno Ernst, O espelho mágico de M. C. Escher
  • National Geographic, A proporção Áurea

 

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De qual destes retângulos gostamos mais?

Fig.1

fig.1

Uma questão semelhante foi formulada por Gustav Fechner, criador da psicofísica, num estudo sobre estatística, a pessoas sem experiência artística. No desenvolvimento do estudo foram mostrados mais retângulos e também o quadrado.

As respostas não divergiram muito, tendo a maioria indicado o quarto retângulo como o seu preferido. Outros retângulos com medidas muito aproximadas deste foram, também, eleitos por uma parte considerável.

A razão dessa preferência justifica-se com a correta proporção das partes que Fechner considera, que para serem belas, do ponto de vista da forma, deve haver entre a parte maior e a menor a mesma relação que entre a maior e o todo. Neste retângulo, escolhido pela maioria, se dividirmos o lado maior pelo menor, obtemos um número, um número aparentemente singelo, bem conhecido do mundo da matemática: 1,618.

Surge com quatro algarismos mas, na realidade, estende-se por muitos mais conforme a notação aritmética :

fórmula

Conhecido, há muito, como número de ouro ou divina proporção ou, ainda, proporção áurea, tem como designação moderna, a letra grega fi (Φ) correspondente à inicial do lendário escultor e arquiteto Fídias, encarregado da construção do templo grego Parténon.

Fig.2

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O fascínio deste número deve-se à sua presença discreta em muito do que nos rodeia: da arte à natureza, passando pela forma de objetos do dia a dia até à forma de galáxias, a sua presença é a responsável pela beleza que lhes confere.

Artistas de todos os tempos, como Leonardo da Vinci, Georges Seurat, Salvador Dali, Corbusier,  entre outros, aproximaram as suas obras da perfeição ao incluírem esta proporção áurea.

Na natureza e no caso das flores e do mundo vegetal importa introduzir um conceito matemático: a sucessão de Fibonacci. Esta série matemática inicia-se com os valores 1 e 1, a partir dos quais cada novo termo é gerado pela soma dos dois anteriores. O quociente entre qualquer termo da sucessão e o precedente aproxima-se de Φ à medida que avançamos ao longo da série:

1/1= 1

2/1= 2

3/2= 1,5

5/3= 1,666…

8/5= 1,6

13/8= 1,625

21/13= 1,615384

 Φ = 1,6180339887…

Quando se chega ao quadragésimo termo da sucessão, o quociente aproxima-se do número de ouro com uma precisão de 14 casas decimais.

Ao observarmos a flor de girassol percebemos que as sementes descrevem espirais concêntricas nos sentidos horário e anti-horário. Se as contarmos, chegamos a dois números aparentemente inocentes: 21 e 34, que são dois termos sucessivos da série de Fibonacci, no caso da pinha também encontramos dois conjuntos, em cada um dos dois sentidos de rotação, com oito e treze espirais.

Outro exemplo do padrão de sucessão de Fibonacci acontece nos ramos e folhas da planta botão de prata (Achillea ptarmica) que mantém ao longo do seu crescimento esta sequência (fig.7).

fig.7

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São várias as flores com números de pétalas pertencentes à serie de Fibonacci como por exemplo as margaridas que têm 55 ou 89 pétalas, as dálias têm 43, as chicórias têm 21, a maioria dos malmequeres tem 13 (diz-se que é para bem querer, no jogo “malmequer bem me quer..”, quando se inicia por bem me quer).

Outro aspeto facilmente observável é que as folhas nunca crescem umas por cima das outras, pois se assim fosse, ficariam privadas do sol e da chuva, crescem sim, segundo um padrão que Leonardo da Vinci teve o privilégio de ser o primeiro a dar a conhecer e que consiste na organização das folhas, em grupos de cinco, ao longo do caule, segundo uma espiral.

Voltando ao retângulo de ouro e à relação com a natureza, podemos estabelecer mais relações se tivermos em conta outras construções como a espiral dourada que observamos no molusco marinho – nautilus. Este tipo de espiral é obtido numa sucessão de retângulos de ouro se traçarmos arcos de circunferência de raio igual ao lado de cada um dos quadrados que vamos retirando e com centro no vértice de cada um deles.

       

Esta forma foi desenhada pelo arquiteto Frank Lloyd Wright para a grande rampa do museu Guggenheim, de Nova Iorque.

Encontramos esta espiral tanto na  estrutura de certas formas animais como no movimento dos insetos quando se aproximam de pontos de luz, mas também na forma dos braços das galáxias ou nas pétalas de uma rosa.

Fig.10

fig.10

No dia a dia, o desejo de beleza e de satisfação faz com que certos objetos sejam concebidos almejando esta centelha divina.

Assim, simples cartões como o do cidadão ou do multibanco, alguns livros, (a proporção que se considera mais harmoniosa é 5:8 mas por desperdiçar mais papel é reservada para edições de luxo, sendo o formato 5:7 o mais habitual), vestuário, nomeadamente nas proporções entre a peça superior e a inferior, em alguns jeans, com Φ a surgir na curva do bolso da frente, nas proporções do bolso de trás e na relação entre o pesponto da anca e a costura interior das calças até à área da música em que são conhecidos os instrumentos de Antonio Stradivarius, desenhados com grande cuidado para que os furos dos violinos se situem na proporção áurea, perseguem este ideal divino.

Fig.1

fig.11

Mas existem outros retângulos que, não sendo de ouro, fazem parte do nosso quotidiano como os do exemplo da figura 11, em que o primeiro retângulo, de 16/9, corresponde ao formato dos novos televisores; o segundo, de 36/24, ao das fotografias e, o terceiro, √2, ao formato das folhas de papel, conhecido por formato DIN, de onde resulta a designação de A0, A1, A2, A3, A4… Este terceiro retângulo é também utilizado na planta de edifícios.

Outro exemplo de retângulo menos conhecido é o retângulo de prata que apresenta um formato mais alongado. Podemos observá-lo em portais de templos e em plantas de edifícios.

Fig.12

fig.12

A relação entre as formas e o pensamento numérico é de tal maneira intrínseca que se imaginarmos um mundo sem números seria como imaginar um mundo sem computadores, sem telemóveis, basicamente sem as quatro atividades fundamentais que regem uma parte da vida do ser humano: contar, ordenar, medir e codificar. E se, para contar, foi necessário atribuir números, e numa fase anterior, substituir um objeto por um grafismo, o que deu origem a uma das grandes revoluções da humanidade, a primeira linguagem simbólica, contar, iria, muito mais tarde, gerar a matemática, da mesma maneira que desenhar daria origem a outra linguagem: a da arte e a da escrita.

E se contar  ou contabilizar foi  a primeira função, ordenar implicava por em ordem, só muito depois, surgiriam as outras, mais complexas, primeiro a medição, que requer a existência de unidades padrão para cada uma das grandezas e comparação dos resultados para efetuar operações e, por fim, a codificação, que é a modificação de um sinal de modo a torná-lo mais apropriado para uma aplicação específica, o que, na sociedade atual, tem uma grande importância.

Ana Guerreiro

Bibliografia

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